Dans le billet précédent, nous avons commencé le problème du vol de fusée, tel que présenté dans le cours MAE6286 Practical Numerical Methods with Python. La définition du problème se trouve ici.
Les fonctions pour la masse et pour le débit massique de carburant ont été déterminées. Afin de représenter le comportement de ces variables au moment où la fusée est à cours de carburant, ces fonctions sont définies par morceaux. Les vitesses terminales en ascension et en descente ont été également calculées. Ces vitesses correspondent aux limites que la fusée ne peut pas dépasser. La fusée n'atteindra pas nécessairement ces vitesses dans notre modèle numérique, cependant, un problème sera évident si la vitesse de la fusée est en dehors de l'intervalle que nous avons défini.
Dans ce billet, on écrira les équations différentielles à résoudre pour la vitesse et l'altitude. On note d'abord que les équations différentielles ne sont pas couplées entres elles. On pourra d'abord résoudre l'équation pour la vitesse, et ensuite, résoudre celle de l'altitude.
Puisque certaines variables de l'équation différentielle de la vitesse sont définies par morceaux, on devra résoudre l'équation de la vitesse par morceaux. C'est-à-dire qu'on aura une équation différentielles pour chaque morceau.
Premièrement, pour les 5 premières secondes, on peut substituer les variables de masse et de débit massique de carburant. On sait aussi que la vitesse est positive, ce qui nous permet de traiter la valeur absolue. On substitue aussi les valeurs numériques. $$\left (150-20t \right )\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}=-\left ( 150-20t \right )\cdot 9.81+20\cdot 325-\frac{1}{2}\cdot 1.091 \cdot \pi \cdot 0.5^2 \cdot 0.15 \cdot v^2$$ Finalement, on isole la dérivée de la vitesse. $$\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}=-9.81+\frac{6500}{150-20t}-\frac{3 \cdot 1.091 \pi}{160 \left( 150 - 20t \right)} v^2$$ Le premier terme du membre de droite correspond a l'accélération gravitationnelle. Le second correspond à l'accélération due à la poussée de la propulsion. Le dernier terme, non-linéaire, correspond à la résistance de l'air. Une solution exacte serait relativement facile à obtenir sans la présence de ce troisième terme.
Lorsque la solution de cette équation sera résolue pour les cinq premières secondes, l'état des variables correspondra à une seconde équation différentielle. Afin de traiter la valeur absolue, on considéra cette équation pendant que la vitesse est positive. Au premier instant où la vitesse est négative, on devra changer d'équation. $$\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}=-9.81-\frac{3 \cdot 1.091 \pi}{8000} v^2$$ L'équation différentielle a subi quelques changements, mais est encore relativement semblable. La masse ne dépend plus du temps, et le terme de poussée a disparu. On note ici que l'accélération doit être négative, et donc qu'un régime permanent n'est pas possible.
Lorsque la vitesse aura atteint son altitude maximale : c'est-à-dire lorsque sa vitesse commencera à être négative, il sera nécessaire de résoudre une troisième équation. $$\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}=-9.81+\frac{3 \cdot 1.091 \pi}{8000} v^2$$ On remarque ici que seul le signe de la résistance de l'air a changé.
En parallèle de l'équation de vitesse, on doit aussi résoudre l'équation de l'altitude. $$\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} x}=v$$ Le problème se termine au moment de l'écrasement, c'est-à-dire quand l'altitude est nulle est que la vitesse est négative. Dans ce billet, nous avons décrit les différentes équations différentielles que nous allons résoudre numériquement. Dans le prochain billet, nous aborderons la discrétisation de ces équations.
Dans ce billet, on écrira les équations différentielles à résoudre pour la vitesse et l'altitude. On note d'abord que les équations différentielles ne sont pas couplées entres elles. On pourra d'abord résoudre l'équation pour la vitesse, et ensuite, résoudre celle de l'altitude.
Puisque certaines variables de l'équation différentielle de la vitesse sont définies par morceaux, on devra résoudre l'équation de la vitesse par morceaux. C'est-à-dire qu'on aura une équation différentielles pour chaque morceau.
Premièrement, pour les 5 premières secondes, on peut substituer les variables de masse et de débit massique de carburant. On sait aussi que la vitesse est positive, ce qui nous permet de traiter la valeur absolue. On substitue aussi les valeurs numériques. $$\left (150-20t \right )\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}=-\left ( 150-20t \right )\cdot 9.81+20\cdot 325-\frac{1}{2}\cdot 1.091 \cdot \pi \cdot 0.5^2 \cdot 0.15 \cdot v^2$$ Finalement, on isole la dérivée de la vitesse. $$\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}=-9.81+\frac{6500}{150-20t}-\frac{3 \cdot 1.091 \pi}{160 \left( 150 - 20t \right)} v^2$$ Le premier terme du membre de droite correspond a l'accélération gravitationnelle. Le second correspond à l'accélération due à la poussée de la propulsion. Le dernier terme, non-linéaire, correspond à la résistance de l'air. Une solution exacte serait relativement facile à obtenir sans la présence de ce troisième terme.
Lorsque la solution de cette équation sera résolue pour les cinq premières secondes, l'état des variables correspondra à une seconde équation différentielle. Afin de traiter la valeur absolue, on considéra cette équation pendant que la vitesse est positive. Au premier instant où la vitesse est négative, on devra changer d'équation. $$\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}=-9.81-\frac{3 \cdot 1.091 \pi}{8000} v^2$$ L'équation différentielle a subi quelques changements, mais est encore relativement semblable. La masse ne dépend plus du temps, et le terme de poussée a disparu. On note ici que l'accélération doit être négative, et donc qu'un régime permanent n'est pas possible.
Lorsque la vitesse aura atteint son altitude maximale : c'est-à-dire lorsque sa vitesse commencera à être négative, il sera nécessaire de résoudre une troisième équation. $$\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}=-9.81+\frac{3 \cdot 1.091 \pi}{8000} v^2$$ On remarque ici que seul le signe de la résistance de l'air a changé.
En parallèle de l'équation de vitesse, on doit aussi résoudre l'équation de l'altitude. $$\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} x}=v$$ Le problème se termine au moment de l'écrasement, c'est-à-dire quand l'altitude est nulle est que la vitesse est négative. Dans ce billet, nous avons décrit les différentes équations différentielles que nous allons résoudre numériquement. Dans le prochain billet, nous aborderons la discrétisation de ces équations.
Aucun commentaire:
Enregistrer un commentaire