Le premier problème soumis durant le cours MAE6286 Practical Numerical Methods with Python est le problème du vol de fusée. Il est possible de consulter la définition du problème tel que présenté dans le cours en suivant ce lien.
Premièrement, la consommation de carburant est découplée du système d'équations différentielles. On peut donc traiter cet aspect du problème de façon indépendante. On peut écrire une fonction définie par morceaux pour le débit de carburant, en fonction du temps. $$\dot{m}_{p}(t) = \bigg \{ \begin{matrix} 20 & si & 0\leq t < 5\\ 0 & si & t \geq 5 \end{matrix}$$ À l'aide de cette fonction, on peut calculer la masse de carburant dans la fusée en fonction du temps, par intégration. $$m_{p}(t) = \bigg \{ \begin{matrix} 100-20t & si & 0\leq t < 5\\ 0 & si & t \geq 5 \end{matrix}$$ On peut donc avoir, à tout instant la masse d'essence en fonction du temps. On peut, entre autres, calculer la masse de carburant à 3.6 secondes.
Deuxièmement, on peut calculer la vitesse termimale de la fusée lors de son ascension et lors de sa descente. La connaissance de ces vitesses limites pourra servir à vérifier le fonctionnement de notre modèle numérique : en effet si ces vitesses sont dépassées, on saura qu'il y a un problème. Évidemment, le fait de ne pas dépasser ces vitesses ne veut cependant pas dire que notre modèle est bon...
Nous abordons d'abord l'ascencion. Par définition de la vitesse terminale, lors de l'ascension, on a deux relations : $$\begin{matrix} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}=0 & et & \left | v \right |>0 \end{matrix}$$ L'équation différentielle de la vitesse devient une simple expression algébrique. $$\frac{1}{2}\rho C_D A v_{max}^{2} =\dot{m}_p v_e-(m_s+m_p)g$$ Selon cette équation, on constate que la vitesse maximale est la plus grande si le débit de carburant est maximal et si la masse de carburant est minimale. Or, c'est deux situations existent simultanément à t = 5 secondes. On peut remplacer par les valeurs numériques est résoudre pour v. $$v_{max} = 305.8 m/s$$ De facon similaire, lorsque lors de la descente, on a : $$ \begin{matrix} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}=0 & , & \left | v \right |<0 & , & \dot{m}_p=0 & et & m_p=0 \end{matrix} $$ On obtient alors : $$\frac{1}{2}\rho C_D A v_{min}^{2} =m_s g$$ $$v_{min} = -87.4 m/s$$ Dans ce premier billet sur le problème du vol de fusée, on a décrit le débit massique et la masse du carburant en fonction du temps, à l'aide d'une fonction par morceau. Nous avons aussi établi les bornes inférieures et supérieures de la vitesse de la fusée.
Premièrement, la consommation de carburant est découplée du système d'équations différentielles. On peut donc traiter cet aspect du problème de façon indépendante. On peut écrire une fonction définie par morceaux pour le débit de carburant, en fonction du temps. $$\dot{m}_{p}(t) = \bigg \{ \begin{matrix} 20 & si & 0\leq t < 5\\ 0 & si & t \geq 5 \end{matrix}$$ À l'aide de cette fonction, on peut calculer la masse de carburant dans la fusée en fonction du temps, par intégration. $$m_{p}(t) = \bigg \{ \begin{matrix} 100-20t & si & 0\leq t < 5\\ 0 & si & t \geq 5 \end{matrix}$$ On peut donc avoir, à tout instant la masse d'essence en fonction du temps. On peut, entre autres, calculer la masse de carburant à 3.6 secondes.
Deuxièmement, on peut calculer la vitesse termimale de la fusée lors de son ascension et lors de sa descente. La connaissance de ces vitesses limites pourra servir à vérifier le fonctionnement de notre modèle numérique : en effet si ces vitesses sont dépassées, on saura qu'il y a un problème. Évidemment, le fait de ne pas dépasser ces vitesses ne veut cependant pas dire que notre modèle est bon...
Nous abordons d'abord l'ascencion. Par définition de la vitesse terminale, lors de l'ascension, on a deux relations : $$\begin{matrix} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}=0 & et & \left | v \right |>0 \end{matrix}$$ L'équation différentielle de la vitesse devient une simple expression algébrique. $$\frac{1}{2}\rho C_D A v_{max}^{2} =\dot{m}_p v_e-(m_s+m_p)g$$ Selon cette équation, on constate que la vitesse maximale est la plus grande si le débit de carburant est maximal et si la masse de carburant est minimale. Or, c'est deux situations existent simultanément à t = 5 secondes. On peut remplacer par les valeurs numériques est résoudre pour v. $$v_{max} = 305.8 m/s$$ De facon similaire, lorsque lors de la descente, on a : $$ \begin{matrix} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}=0 & , & \left | v \right |<0 & , & \dot{m}_p=0 & et & m_p=0 \end{matrix} $$ On obtient alors : $$\frac{1}{2}\rho C_D A v_{min}^{2} =m_s g$$ $$v_{min} = -87.4 m/s$$ Dans ce premier billet sur le problème du vol de fusée, on a décrit le débit massique et la masse du carburant en fonction du temps, à l'aide d'une fonction par morceau. Nous avons aussi établi les bornes inférieures et supérieures de la vitesse de la fusée.
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